La paradoja del cumpleaños

5 de Febrero de 2008 - 18:34:05 - Luis del Pino

Imagínese que 23 personas se reúnen para celebrar una fiesta. Durante la misma, surge el tema de los signos del Zodiaco y cada uno de los presentes dice en qué día del año nació. Si resultara que dos de las personas que asisten a la fiesta cumplen años el mismo día, ¿qué es lo que todos los invitados pensarían? Pues casi todo el mundo diría para sus adentros: "¡Vaya casualidad! Somos 23 personas, hay 365 días en el año y, sin embargo, resulta que dos de nosotros han nacido el mismo día."

Sin embargo, no se trata de ninguna casualidad. Si cogemos 23 personas al azar, la probabilidad de que dos cualesquiera de ellas cumplan años el mismo día es ligeramente superior al 50%. En otras palabras: si celebramos una serie de fiestas con 23 asistentes escogidos al azar en cada una de ellas, una de cada dos veces nos encontraremos con que dos de los asistentes a la fiesta nacieron el mismo día del año.

Resulta muy fácil demostrar matemáticamente esto, pero el hecho en sí resulta bastante contraintuitivo. De ahí que, inicialmente, uno se sienta tentado a atribuir a la casualidad lo que, en realidad, no requiere de casualidad ninguna. Este problema matemático se conoce con el nombre de "paradoja del cumpleaños".

¿Por qué comento todo esto? Pues porque, a la hora de analizar los datos disponibles sobre el 11-M, hay que discernir claramente qué cosas son casualidades reales y qué otras cosas son sólo casualidades aparentes.

Tomemos, por ejemplo, un cuadrado de 2 km de lado centrado en torno al barrio de Lavapiés y dividamos ese cuadrado en una cuadrícula de 20x20 sectores. Cada uno de los 400 sectores resultantes será un cuadrado de 100 metros de lado. Vayamos situando ahora en esa cuadrícula todos los inmuebles de esa zona que se mencionan en el sumario y supongamos que nos sale un total de 25 inmuebles. ¿Cuál es la probabilidad de que dos de esos inmuebles caigan exactamente en el mismo sector? Es decir, ¿cuál es la probabilidad de que dos de esos 25 inmuebles estén situados a menos de 100 metros de distancia el uno del otro? Pues, de nuevo, aplicando las mismas fórmulas que en el caso de la paradoja del cumpleaños, esa probabilidad es superior al 50%.

Por tanto, del hecho de que dos de esos 25 inmuebles estén muy próximos no cabe deducir nada de nada, porque no se trata de una casualidad real, sino sólo aparente.

P.D.: Las matemáticas están llenas de ejemplos de estas aparentes paradojas, que nos demuestran que no siempre conviene fiarse de la intuición. Otra paradoja que resulta muy sorprendente es la llamada "paradoja de la naranja". Tomemos una naranja y rodeémosla con una cinta que tenga exactamente el tamaño de la circunferencia de la naranja. Supongamos que nos sale que esa cinta tiene una longitud de 20 cm. Añadamos 1 metro a esa cinta (con lo que la cinta tendrá una longitud de 1,2 metros) y volvamos a rodear con ella la naranja: ahora la cinta nos quedará a una cierta distancia X de la superficie de la naranja, ¿verdad?

Tomemos ahora la Tierra y rodeémosla con otra cinta. Esta segunda cinta tendrá una longitud de unos 40.000 kilómetros. Añadamos 1 metro a la cinta (con lo cual tendrá 40.000 kilómetros más 1 metro) y volvamos a rodear la Tierra con ella. ¿A qué distancia nos quedará esta cinta de la superficie de la Tierra? ¿Esa distancia será mayor, menor o igual que en el caso de la naranja? Intuitivamente, uno se sentiría tentado de contestar que esa distancia tiene que ser menor que en el caso de la naranja, porque 1 metro frente a 40.000 kilómetros no es nada. Sin embargo, resulta que en el caso de la Tierra la cinta nos queda a la misma distancia X exacta que en el caso de la naranja. Sorprendente, ¿verdad? Y, sin embargo, resulta muy fácil de demostrar sin más que aplicar la fórmula que nos da la circunferencia en función del radio.